Изучение темы «Проценты» в современной школе. Как объяснять проценты. Как объяснить ребенку проценты в математике Выражение чисел в процентах

Деньги настолько прочно вошли в нашу жизнь, что все мы — вне зависимости от возраста, пола и способа получения дохода время от времени попадаем в ситуации, когда мы вынуждены принимать решения, требующие финансовых расчетов. И тогда от нашей способности оперировать конкретными финансовыми категориями зависит, насколько выгодным будет выбранный нами вариант. В данной статье мы рассмотрим основные категории финансовой математики и покажем, как с их помощью принимать верные решения в самых различных ситуациях.

Проценты. Сложные проценты. Капитализация процентов (Compaunding)

Процентами называют доход, полученный в качестве платы за предоставление денег в долг в любой форме. Проценты могут выражаться в абсолютной и относительной форме. Абсолютная форма — это конкретная сумма за определенный период. Относительная — в виде процентной ставки, привязанной к оговоренному периоду (год, месяц или день). Чтобы рассчитать наращенную сумму (S), под которой мы будем понимать основную сумму плюс накопленные проценты, необходимо воспользоваться следующей формулой:

(1) S = P * (1 + i * n),
где P — сумма, на которую начисляется процент, i — процентная ставка, N — количество периодов начисления.

Пример
Вы предоставили знакомому заем в размере 10,000$ на 3 месяца, по условиям которого он обещает выплачивать вам 2% в месяц. Необходимо рассчитать сумму, которую вы получите в конце срока пользования займом. Получаем 10,000 * (1 + 2% * 3) = 10,600$.

Часто можно встретить ситуацию, когда проценты не выплачиваются, а присоединяются к вложенной сумме и с нового периода начисление производится уже на сумму с учетом присоединенных ранее процентов. Такой процент называется сложным, а процесс начисления процентов на процент — капитализацией процентов. В случае сложного процента наращенная сумма рассчитывается по-другому:

(2) S = P * (1 + i) ^ n,
где значение букв то же, что и в формуле выше, а знак «^» означает возведение в степень.

В чем отличие сложных и простых процентов? Если рост простых процентов происходит линейно (на одинаковую сумму каждый период), то сложные проценты растут экспоненциально (каждый последующий период сумма процентов больше, чем в предыдущий). Благодаря данному эффекту сумма, размещенная под сложный процент на длительный срок, многократно превосходит рост суммы, размещенной под простой процент. Ниже приведены результаты роста депозита (6% годовых) при простом и сложном проценте. Если в первое время разница остается небольшой, то в последствии одна достигает критического значения. Так, на 80 год на депозит с простым процентом достигнет 58,000$, в то время как депозит со сложным — 1,057,960$.

В практике часто встречается практика, при которой период начисления процентов отличается от целого числа. В такой ситуации, формула расчета наращенной суммы при простом проценте приобретает вид:

(3) S = P * (1 + i * d / 365),
где d — период начисления процентов, выраженный в днях.

Также встречаются ситуации, когда процентная ставка выражается в годовых, но начисление процента происходит ежемесячно. В таких случаях формула расчета наращенной суммы (как правило, в данном случае используются сложные проценты) будет иметь вид:

(4) S = P * (1 + i/m) ^ (n*m),
где m — количество периодов начисления процентов в рамках периода (обычно используется 12 по числу месяцев в году).

И напоследок обратим внимание, что вне зависимости от вида процента, все формулы по расчету наращенной суммы можно привести к общему виду:

(5) S = P * k,
где k — коэффициент наращения, который рассчитывается различными способами в зависимости от применяемого вида процента. Этот вывод существенно облегчит нам понимание последующих математических операций.

Дисконтирование и его сущность

Концепция процентов, которую мы рассмотрели выше, отражает временную стоимость денег. Иными словами, в силу того, что деньги, которыми мы владеем сегодня, завтра могут принести нам доход в результате их размещения под определенный процент, будущие денежные поступления имеют меньшую текущую стоимость. На этом принципе основывается математическая операция, которая получила название дисконтирование. Дисконтирование означает приведение будущих платежей к текущей стоимости и по смыслу является операцией, обратной наращению процентов. То есть дисконтирование рассматривает будущие платежи как наращенную сумму (S) и задача инвестора рассчитать их текущую стоимость (P) из расчета доступной ему процентной ставки (i). В зависимости от вида процента, формула дисконтирования будет иметь следующий вид: или

(6) P = S / (1 + i * n)

(7) P = S / (1 + i) ^ n

Задача дисконтирования показать нам, сколько деньги, которые мы получим в будущем, стоят сегодня, чтобы не переплатить за будущие платежи с точки зрения доступной нам инвестиционной альтернативы. Рассмотрим несколько распространенных операций, в которых применяется дисконтирование.

Приобретение потока будущих платежей (учетные операции)
К приобретению предлагается облигация номинальной стоимостью 1000$ с процентной ставкой 6% годовых, выплата процентов по которой производится ежеквартально, а погашение — в конце года. Задача — рассчитать текущую стоимость обязательства из расчета учетной ставки 15 % годовых.

Решение
Рассчитаем ежеквартальный процентный доход и построим в программе Excel таблицу денежных потоков. Найдем значение текущей стоимости с помощью встроенной формулы ЧПС. Таким образом, при учетной ставке в 15% годовых, текущая стоимость данного финансового обязательства равно 916,22$

Примечание

2) В формуле ЧПС на место процентной ставки ставим годовой процент, деленный на 12

Финансовая эквивалентность
Стороны согласовывают условия по оплате офисного помещения. Цена помещения — 24,000$. Продавец согласен на рассрочку платежа на следующих условиях: 8,000 $ сразу, остальное равными частями в течение 4 месяцев. Однако он готов рассмотреть и больший срок рассрочки, если продавец предложит ему большую сумму за продаваемое помещение.

Решение
Отразим первоначальные условия рассрочки в виде таблицы в программе Excel. Смоделируем в этой же таблице предложение с нарастающими ежемесячными платежами, по итогу которых цена помещения возрастет до 24,400$. Рассчитаем текущую стоимость каждого варианта для сопоставления их эквивалентности из расчета процентной ставки, равной 10% годовых. Из расчета видно, что второй вариант даже при условии более высокой цены покупки более выгоден для покупателя, чем первый

Консолидация платежей
Консолидацией платежей называют операцию по объединению нескольких платежных обязательств в один платеж (S0) в определенный срок (Т0). Особенность данной операции заключается в том, что все платежи, поступление которых ожидается раньше данного срока, рассчитываются наращением, а те, которые ожидаются после него — дисконтированием. В зависимости от вида используемого процента формула консолидации имеет следующий вид:

(8) S = ∑ Pn * (1 + i * (Т0 — Тn))

(9) S = ∑ Pn* (1 + i) ^ (Т0 — Тa))

Пример
Вы открыли банковский вклад 10,000$ на 12 месяцев под 10% годовых. Сколько денег вам необходимо положить на счет на 14 месяц, чтобы через 3 года у вас было на счету 15,000$.

Решение
Представим задачу в виде консолидации платежей, где существующий вклад будет выражен в виде положительного числа, а ожидаемая в будущем сумма — отрицательного. Учитывая, что процент начисляется по ставке сложного процента, получим следующий расчет 10,000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-0) — 15,000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-36) = 11,232 — 12,496 = -1,264$.

Определение внутренней ставки доходности

В бизнесе и инвестировании часто встречаются ситуации, когда инвестору известны будущие платежи и сумма вложений, и ему необходимо рассчитать коэффициент наращения, при котором сумма будущих платежей, приведенных к текущей стоимости, будет численно равна сумме вложений. Коэффициент наращения, для которого выполняется данное условие, называется внутренней ставкой доходности (ВСД, в англ. — IRR, internal return of return). Для расчета внутренней ставки доходности применяется встроенная функция программы Excel — ВСД.

Пример
Инвестор рассматривает инвестиционное предложение, которое представляет собой долевое участие в открытие пиццерии (см. здесь). Нам известны: а) сумма запрашиваемых инвестиций; б) финансовый план (прогноз денежных потоков); в) схема по распределению денежных потоков. Резюме инвестиционного предложения (см. таблицу) содержит 6 вариантов доходности. Необходимо определить общую доходность инвестиционного предложения для сравнения с иными вариантами инвестиций.

Решение
Построим в программе Excel таблицу денежных потоков, которые получит инвестор согласно финансового плана (см. таблицу). Рассчитаем внутреннюю ставку доходности с помощью встроенной формулы ВСД, где в качестве диапазона значений указываем все значения платежей, включая первоначальные инвестиции. Полученное значение внутренней ставки доходности (ВСД) = 38,47%. Таким образом, общая ожидаемая доходность рассматриваемого инвестиционного предложения составляет 38,47% годовых.

Примечание
1) В периоды, когда платежи отсутствует, ставим «0″.
2) Для получения годовой ставки ВСД полученное значение умножаем на 12.

Аннуитет (финансовая рента)
Поток платежей, все составляющие которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют аннуитетом или финансовой рентой. Например, аннуитетом является последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, регулярные взносы по договорам накопительного страхования, выплата пенсий. Аннуитеты характеризуются следующими параметрами: 1) величиной каждого отдельного платежа; 2) интервалом между платежами; 3) продолжительностью платежей (бывают вечные анну­итеты); 4) процентной ставкой. В силу сложности расчетной формулы, для расчета различных составляющих аннуитета лучше всего использовать встроенные формулы программы Excel. Рассмотрим основные из них.

При расчете кредита используются формулы ПЛТ (рассчитывает сумму ежемесячного платежа), ОСПЛТ (рассчитывает сумму погашения основного долга в составе конкретного ежемесячного платежа), ПРПЛТ (рассчитывает сумму процентов в составе конкретного ежемесячного платежа).

Пример
Необходимо рассчитать ежемесячный платеж и составить график платежей по кредиту, сумма 10,000$, процентная ставка 20%, срок — 20 месяцев.

Решение
Для расчета платежа используем формулу ПЛТ. На место процентной ставки подставляем ежемесячное значение (годовое значение, деленное на 12), в качестве приведенной стоимости указываем сумму кредита, будущая стоимость — указываем 0. Те же значения используем для формул ОСПЛТ и ПРПЛТ, в которых меняется только порядковый номер периода. Полученные значения представим в виде таблицы:

Та же формула ПЛТ может использоваться для расчета ежемесячных взносов для накопления суммы к заданному моменту времени. Для этого на место приведенной стоимости ставим сумму первоначального взноса, а на место будущей стоимости — необходимую сумму.

Пример
Вам 25 лет. Вы открыли пенсионный накопительный счет с процентной ставкой в размере 6% годовых и положили на него ваши накопления в размере 10,000$. Рассчитаем размер ежемесячного платежа, который вам необходимо откладывать на счет, чтобы к 45 годам получить сумму в размере 100,000$.

Решение
Используем функцию ПЛТ. В качестве процентной ставки указываем 6% / 12, количество периодов — 20 * 12, приведенная стоимость — 10,000$, будущая стоимость — 100,000$. В данном случае заполненная формула будет выглядеть так =ПЛТ(6%/12;20*12;10000;100,000). Получаем сумму ежемесячного взноса в размере 288$.

Как вы заметили, в вышеуказанных примерах мы рассчитывали сумму ежемесячного платежа, иные параметры аннуитета нам были известны. Excel позволяет нам рассчитать и иные параметры аннуитета — приведенную стоимость, будущую стоимость, количество периодических платежей. Разберем на примерах как работают эти формулы.

Пример расчета приведенной стоимости
К 10-летию сына вы решили открыть накопительный счет, чтобы его 18-летию накопить на нем 10,000$. Какой первоначальный взнос вам необходимо внести на данный счет, если планируемые ежемесячные взносы составляют 50$?

Решение
Используем функцию ПС. В качестве процентной ставки указываем 6% / 12, количество платежей 8 * 12, периодический платеж — 50$, будущая стоимость — минус 10,000$. В данном случае заполненная формула будет выглядеть так =ПС(6%/12;8*12;50;-10000). Полученное значение первоначального взноса — 2390$.

Примечание
Отрицательное значение в формулах ПС и БС означает «я получу», положительное — «я плачу».

Пример расчета будущей стоимости и количества платежей
Два друга решили обеспечить себе дополнительную пенсию. Для этого каждый из них открыл накопительный счет с доходностью 6% годовых, один внес на него первоначальный взнос в размере 3,000$ , а второй — 5,000$. Первому 25 лет, второму 30, оба хотят выйти на пенсию к 45 годам. Оба готовы отчислять по 50$ ежемесячно. Необходимо рассчитать сумму их пенсионных накоплений и количество месяцев начисления пенсии за счет накопленных средств, если пенсионные выплаты планируются в размере 150$.

Решение
Вначале рассчитаем сумму пенсионных накоплений. Для этого используем формулу БС. В первом случае количество платежей будет равно 20 * 12, во втором — 15 * 12, приведенная стоимость в первом случае 3000$, во втором — 5000$, процентная ставка в обоих случаях будет равна 6% / 12, а периодический платеж — 50$. Собранная формула в первом случае будет выглядеть = БС(6%/12;20*12;50;3000), во втором = БС(6%/12;15*12;50;5000). В первом случае пенсионные накопления составят 33,032$, во втором — 26,811$. Теперь рассчитаем срок, в течение которой накопленная сумма может обеспечить указанные выше пенсионные выплаты. Для этого воспользуемся функцией КПЕР, где в качестве процентной ставки указываем 6%/12, в качестве суммы платежа ставим 150$, в качестве приведенной стоимости подставляем полученные значения. Получаем сумму в месяцах — 149 для первого и 128 для второго.

Примечание
Отрицательное значение в формуле показывает, что мы получаем платежи, в случае, если формула применяется для расчета платежей, которые необходимо оплатить, полученное значение будет положительным.

Вечная рента (перпетуитет) и модель Гордона

Частным случаем аннуитета является последовательность платежей, продолжительность которого условно не определена, в связи с чем данный аннуитет считается вечным. Примером вечного аннутитета могут быть консоли — разновидность ценных бумаг (облигаций), по которым проценты начисляются бессрочно, но возврат номинальной стоимости не производится. На практике, такие ценные бумаги встречаются достаточно редко. Более распространенным примером вечного аннуитета являются дивидендные платежи, которые длительное время выплачиваются некоторыми компаниями своим акционерам. Для расчета стоимости вечного аннуитета используется модель Гордона:

(10) S = P * (1+g) / (r — g) , где S — стоимость аннуитета, P — текущий платеж, g — темп роста текущего платежа, r — норма доходности.

Вышеуказанные формулы является основным перечнем инструментов для вычислений различного рода и позволяют произвести расчеты в отношении любой ситуации. В комментариях к данной статье вы можете описывать ситуации, требующие финансовых расчетов, а я постараюсь показать, как вышеуказанный математический аппарат поможет вам в их решении.

При подготовке статьи использовались материалы из учебного пособия «Финансовая математика» Ширшова Е.В., Н.И. Петрика, Тутыгина А.Г., Меньшикова Т.В., Москва, изд. «Кнорус», 2010 г.

Понятие процента имеет широкое практическое применение, поэтому оно является обязательной частью школьной программы по математике. Школьники должны научится решать основные задачи на проценты, представлять их в виде десятичных и обыкновенных дробей.

Традиционно тема «Проценты» изучается в рамках младших классов среднего звена. Можно выделить несколько подходов к изучению данной темы.

Первый подход. Рассмотрение процентов ведется как отдельная тема, без опоры на дроби. Нахождение нескольких процентов от числа осуществляется в два действия. Изучение дробей ведется отдельной темой, гораздо позже задач на проценты. Таким образом, обучение идет от частного к общему, что менее эффективно и дает меньше возможностей для развития обучаемого.

Второй подход. Задачи на проценты осваиваются как частный случай задач на дроби и все приемы решения переносятся на них, то есть изучение идет от общего случая - задач на дроби, к частному. В большинстве современных учебников реализован второй подход.

Рассмотрим более подробно изучение данной темы в некоторых современных учебниках, рекомендованных Министерством Образования России на 2003/2004 учебный год для преподавания математики в основной школе.

По учебникам , тема «Проценты» изучается в V классе. Перед введением понятия «процент» автор предлагает рассмотреть примеры:

«Сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть метра - сантиметром, сотую часть гектара - акром. Принято называть сотую часть любой величины процентом».

Рассматриваются три основные задачи на проценты:

Задача вида К1 .

Пример 1: Бригада рабочих за день отремонтировала 40% дороги, имеющей длину 120 м. Сколько метров дороги было отремонтировано бригадой за день?

120 м составляет 100%

1) 120:100 =1,2 м составляет 1%.

2) м отремонтировано бригадой за день.

Ответ: За день бригада отремонтировала 48 м дороги.

Задача вида К2.

Пример 2: Ученик прочитал 72 страницы, что составляет 30% числа всех страниц книги. Сколько страниц в книге?

Неизвестное число - 100%.

1) 72:30=2,4 страницы составляет 1%.

2) страниц составляет 100%.

Ответ: В книге 240 страниц.

Задача вида П1 .

Пример 3: В классе из 40 учащихся 32 правильно решили задачу. Сколько процентов учащихся правильно решили задачу?

40 учащихся составляют 100%.

1) 40:100=0,4 составляет 1%.

2) 32:0,4=80; 32 ученика составляют 80%.

Ответ: 80% учащихся правильно решили задачу.

Однако эти виды задач не выделяются, так как в качестве основного способа решения задач на проценты принят способ приведения к единице. Он обладает определенными преимуществами:

а) проще для выполнения вычислений;

б) приучает учащихся к выделению числа, принимаемого за 100%;

в) требует проведения в процессе решения конкретной задачи соответствующих рассуждений, которые не включают запоминания правил решения того или иного вида задач на проценты.

Учебник предполагает решать некоторые задачи на проценты с помощью уравнений. Эта рекомендация относится по существу к двум видам задач: нахождение числа по данному числу его процентов и нахождение процентного отношения двух чисел. Опыт преподавания математики в V классе показывает, что учащиеся сталкиваются с определенными трудностями в процессе решения задач на проценты, что связано в основном с недостаточной осознанностью учащимися способа приведения к единице. Поэтому отработка сущности этого способа в два действия имеет решающее значение в обучении решению задач на проценты, особенно на начальном этапе усвоения знаний. Задачи, рассмотренные в примерах 2 и 3, могут быть решены с помощью уравнений. В V классе решение задач с помощью уравнений вызывают у учащихся значительные трудности.

Эта тема является одной из последних в курсе V класса. Далее авторы специально к теме не возвращается. Это не очень удачно, так как тема объективно трудная.

Несколько другой подход к этой теме в учебниках . Изучение процентов начинается в конце V класса. Авторы определяют процент, как иное название одной сотой. «Мы знаем, что одна вторая иначе называется половиной, одна четвертая - четвертью, три четвертых - тремя четвертями. Особое название имеет и одна сотая: одна сотая называется процентом». Учащиеся рассматривают только два вида задач:

Задача вида К1 .

Пример 4. В школе 800 учащихся, 15% из них за четверть получили пятерки по математике. Сколько учеников получили пятерки по математике?

Найдем вначале один процент, или одну сотую, от числа уча щихся.

800: 100=8.

Чтобы найти 15%, нужно выполнить умножение:

Ответ: 120 учеников получили пятерки.

Большое внимание уделяется связи дробей (десятичных и обыкновенных) и процентов.

Задача вида П1 .

Пример 5. Сколько процентов от 1 м составляет 1см, 9 см, 0,15 м?

В VI классе авторы снова возвращаются к этой теме. Учащиеся повторяют материал, изученный в V классе, и рассматриваются новые задачи. При этом для каждого вида задач проводится аналогия с действиями над десятичными и обыкновенными дробями, формулируется правило:

Для задачи вида К1.

2) умножить данное число на эту дробь»

А также для задачи вида К2.

«1) выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью;

2) разделить данное число на эту дробь»

Пример 6. За контрольную работу по математике отметку «4» получили 9 учеников. Это составляет 36% от всех учащихся класса. Сколько учащихся в классе?

Выразим проценты обыкновенной или десятичной дробью: 36%= =0,36.

Воспользуемся правилом нахождения числа по его дроби:

9:==25 или 9:0,36=25

Ответ: в классе было 25 учащихся.

Сначала учащиеся рассматривают выражение частного двух чисел в процентах: «чтобы выразить частное в процентах, нужно частное умножить на 100 и к полученному произведению приписать знак процента».

Только после этого они переходят к решению задачи П1 .

«Для этого нужно

1) первое число разделить на вторе;

2) полученное частное выразить в процентах»

Пример 7. В классе 25 учащихся, из них 20 пионеров. Сколько процентов составляют пионеры?

Для решения нужно частное выразить в процентах. =0,8=80%.

Ответ: пионеры составляют 80%.

В конце темы рассматривается задача вида П2 и П3 .

«… чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась данная величина, необходимо найти:

1) на сколько единиц увеличилась или уменьшилась эта величина;

2) сколько процентов составляет полученная разность от первоначального значения величины»

Пример 8. До снижения цен холодильник стоил 250р., после снижения - 230 р. На сколько процентов снизилась стоимость холодильника?

Узнаем, на сколько рублей изменилась цена холодильника: 250-230=20 р.

Найдем, сколько процентов составляет полученная разность от первоначальной стоимости холодильника: =0,08=8%

Ответ: стоимость холодильника понизилась на 8%.

Правила ограничивают учащихся, не дают им рассуждать над решением. Поэтому каждая задача на проценты становится алгоритмом и вызывает затруднения, если правило забыто. Решение задач в данном курсе арифметическое. Использование уравнений при решении начинается лишь в конце года только в сложных задачах. Следовательно, не каждый ученик сможет овладеть этим умением. Поэтому нужно включить задачи на проценты при изучении уравнений.

В учебниках , понятие процента также изучается в конце V класса. Перед введением определения рассматриваются примеры употребления понятия «процент»:

«Всхожесть семян составляет 98 процентов; в выборах президента России приняли участие 65 процентов избирателей… ». Процент определяется как обозначение сотой доли. В V классе авторы рассматривают только два вида задач: задачи вида К1 и К2 . Решение этих задач осуществляется арифметическим способом. Большое внимание уделяется вопросу, какую величину взять за 100%.

Далее тема «Проценты» изучается в VI классе. Здесь рассматриваются те же виды задач, но решение осуществляется уже алгебраическим способом (составление линейных уравнений). Авторы формулируют правила нахождения части от целого и целого по его части:

«1) чтобы найти часть от целого, надо целое (соответствующее ему число) умножить на дробь (соответствующее этой части);

2) чтобы найти целое по его части, надо часть (соответствующее этой части число) разделить на соответствующую ей дробь».

После этого тема не рассматривается.

Несколько другой подход в учебниках , . Проценты начинают изучаться в начале VI класса. Вводится понятие процента как одной сотой части числа (величины). Рассматриваются задачи трех типов:

а) нахождение процентов от данного числа К1 .

Сначала рассматривается нахождение 1% от данного числа. Затем - нахождение произвольного числа процентов.

б) нахождение числа по данному числу его процентов К2 .

Также в первую очередь обсуждается, как найти число, 1% которого известен. Затем эта задача рассматривается для любого произвольного числа процентов.

в) нахождение процентного отношения двух чисел П1 . Авторы формулируют правило «Чтобы отношение двух чисел выразить в процентах, можно это отношение умножить на 100»

Все три типа задач решаются сначала арифметическим способом, а затем их решают, на основе свойств пропорциональности.

Пример 9. Найти 8% от 35.

Решение: Пусть x - искомое число, тогда:

Ответ: 2

Рассматриваются также задачи, в которых нужно увеличить (уменьшить) число на некоторое число процентов К3 и К4. Проценты также используются при изучении диаграмм.

Пример 10.

Цену товара увеличили на 10%, затем еще на 10%. На сколько процентов увеличили цену товара за два раза?

Здесь же рассматриваются задачи на смеси и сплавы (этот параграф отмечен, как параграф повышенной трудности). Мне кажется, что задачи такого типа для шестиклассников сложны. Поэтому не каждый учитель захочет рассматривать такие сложные задачи со всем классом и очень важный пласт задач останется не рассмотренным. Но это очень важные задачи, которым следует уделить должное внимание, возможно, в старшем возрасте.

В этом комплекте также уделяется внимание работе с калькулятором при решении задач на проценты. Данному вопросу посвящен отдельный параграф и разработана система упражнений.

В старших классах тема проценты рассматривается в рамках задач на повторение и задач повышенной трудности. В старших классах операции с процентами становятся прерогативой химии, которая внедряет свой взгляд на проценты. Поэтому вопросы универсальности процентов и разнообразия сфер их применения постепенно забываются учащимися.

Покажем, как предлагается изучать этот материал в учебных комплектах по математике для V-VI класса под ред. Г.В.Дорофеева и И.Ф. Шарыгина и для VII - IX класса под ред. Г.В.Дорофеева.

Прежде всего, нужно отметить, что при изложении темы «Проценты» реализуются многие общие методические особенности, характерные для курса в целом. Тема разворачивается по спирали и изучается в несколько этапов с VI по IX класс включительно. При каждом проходе учащиеся возвращаются к процентам на новом уровне, их знания пополняются, добавляются новые типы задач и приемы решений. Такое многократное обращение к понятию приводит к тому, что постепенно оно усваивается прочно и осознанно. Появляется возможность включать задачи, которые сейчас в действующих учебниках не могут рассматриваться просто в силу возрастных особенностей школьников.

Вопросы, связанные с процентами, позволяют сделать курс ориентированным на практику, показать учащимся, что приобретаемые ими математические знания применяются в повседневной жизни. Интерес в значительной степени поддерживается также и содержанием задач, фабулы которых приближены к современной тематике и к жизненному опыту детей, а затем и подростков. Это служит достаточно сильным мотивом для решения предлагаемых задач.

Введение процентов опирается на предметно-практическую деятельность школьников, на геометрическую наглядность и геометрическое моделирование. Широко используются рисунки и чертежи, помогающие разобраться в задаче и увидеть путь решения.

Как и во всех основных разделах курса при изложении этой темы реализованы широкие возможности для дифференцированного обучения учащихся. Задачи предлагаются в широком диапазоне сложности - от базовых, до достаточно трудных. Учитель может подобрать материал, соответствующий возможностям каждого школьника.

При обучении решению задач на проценты учащиеся знакомятся с разными способами решения задач, причем множество приемов шире, чем это бывает обычно. Ученик овладевает разнообразными способами рассуждения, обогащая свой арсенал приемов и методов. Но при этом также важно, что он имеет возможность выбора и может пользоваться тем приемом, который ему кажется более удобным.

Рассмотрим пример:

Цена холодильника в магазине за год увеличилась на. Какой стала цена, если изначально холодильник стоил руб?

Решение:

Для начала определим, на сколько рублей изменилась (в данном случае - увеличилась) стоимость холодильника.

По условию - на.

Но от чего?

Конечно же, от самой начальной стоимости холодильника - руб.

Получается, что нам нужно найти от руб:

Теперь мы знаем, что цена увеличилась на руб.

Остается только, согласно правилу, прибавить к начальной стоимости величину изменения:

Новая цена рублей.

Еще пример (постарайся решить самостоятельно):

Книга «Математика для чайников» в магазине стоит руб. Во время акции все книги продаются со скидкой

Сколько теперь придется заплатить за эту книгу?

Решение:

Что такое скидка, ты наверняка знаешь? Скидка в означает, что стоимость товара уменьшили на

На сколько уменьшилась стоимость книги (в рублях)?

Нужно найти от начальной ее стоимости в руб:

Цена уменьшилась, значит нужно из начальной стоимости вычесть то, на сколько она уменьшилась:

Новая цена рублей.

Правда ведь просто?

Но есть способ сделать это решение еще проще и короче!

Рассмотрим пример:

Увеличьте число на.

Чему равны от?

Как мы уже выяснили раньше, это будет.

Теперь увеличим само число x на эту величину:

Получается, что в результате мы к десятичной записи прибавили и умножили на число.

Обобщим это правило:

Пусть нам нужно увеличить число на.

от числа - это.

Тогда новое число будет равно: .

Например, увеличим число на:

А теперь попробуй сам:

1. Увеличить число на
2. Увеличить число на
3. На сколько процентов число больше числа?

Решения:

3) Пусть искомое количество процентов равно.

Это значит, что если число увеличить на, получится:

Ответ: на.

Если число x надо уменьшить на, все аналогично:

Итак, правило:

Примеры:

1) Уменьшить число на.

2) На сколько процентов число меньше числа?

3) Цена товара со скидкой в равна р. Чему равна цена без скидки?

Решения:

2) Число уменьшили на x процентов и получили:

Ответ: на.

3) Пусть цена без скидки равна. Получается, что x уменьшили на и получили:

Напоследок рассмотрим еще один тип задач, частенько вызывающих недоумение.

Решение сложных задач на проценты

Число больше числа на. На сколько процентов число меньше числа?

Что за странный вопрос: конечно же на!

Правильно?

А вот и нет.

Если, например, масса одного шкафа на 25 кг больше массы другого, то, без сомнения, масса второго шкафа на 25 кг меньше массы первого.

Но с процентами так не прокатит!

Ведь в первом случае, когда говорим, что число на больше числа, мы считаем от числа; а во втором случае, когда говорим, что число на меньше числа, мы считаем от числа. А поскольку числа и разные, то и от этих чисел будут разными!

Чтобы решить эту задачу верно, давай запишем условие в виде уравнения:

Число больше числа на. Это значит, что если число увеличить на, получим число:

Теперь в таком ж виде запишем вопрос: если число a уменьшить на процентов , получим число:

Выразим число из равенства (1):

И подставим в (2):

Отсюда следует, что:

Итак, получаем, что число на меньше числа!

Подобные задачи часто попадаются в ЕГЭ

Например:

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов , а во вторник подешевели на то же самое число процентов . В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение:

Пусть цена акции в понедельник была равна, а искомое количество процентов , записанное в виде десятичной дроби (то есть, уже поделенное на), равно.

Запишем формулой, чему равна стоимость акции после подорожания:

При этом известно, что эта конечная цена на меньше начальной цены. То есть, если уменьшить на, получим:

Подставим, выраженное ранее:

Согласно здравому смыслу подходит только положительное решение:

Вспомним теперь, что это пока только десятичная запись искомого количества процентов , то есть это количество процентов , деленное на. Чтобы перевести в проценты , нужно домножить на 100%:

Где мы используем проценты в жизни?

Ну например в банковских продуктах: вкладах, кредитах, ипотеке и т.д

Если ты хорошо понимаешь, что такое проценты и умеешь решать уравнения, то ты без труда расчитаешь, например, размер ежемесячного платежа по кредиту.

Или сколько придется переплатить, взяв ипотеку. Такая задача есть в ЕГЭ под номером 17.

Проценты. Коротко о главном

Один процент любого числа - это одна сотая этого числа.

1. Проценты и десятичные дроби

2. Изменение числа на сколько-то процентов

Допустим, нужно увеличить число на.

от числа - это.

Тогда, новое число будет равно: .

Чтобы увеличить число на, нужно умножить его на.

Если число надо уменьшить на, то:

Уменьшить число на какую-то величину - значит вычесть из него эту величину:

Чтобы уменьшить число на, нужно умножить его на.

, цикл статей про личные финансы.

Сегодня поговорим про проценты.

Невозможно инвестировать не понимая, что такое процент и как считается доходность.

С простыми процентами как правило проблем не бывает, каждый кто хоть раз держал деньги на депозите в банке понимает, что, например, ставка процента 10% годовых на вклад 50 000 руб. даст 5000 дохода за год.

Сложнее понять действие сложного процента, а он очень важен именно в долгосрочном инвестировании, т.е. когда инвестиции делаются с целью обеспечения финансовой свободы.

По сути при сложном проценте процентный доход вновь инвестируется, увеличивая размер вклада. Вот пример, допустим у вас есть 100 000 руб. и на них Вы получаете 10% дохода, т.е. 10 000 руб. в год.

В первый год Вы получили 10000 руб. и Ваш вклад увеличился на эти 10 000 составив 110 000 руб.

Во второй год Ваш доход уже составит 10% от 110 000 руб., т.е. 11000 руб., которые Вы также добавляете к вкладу, который становится уже 110 000 + 11 000 = 121 000 руб.

Третий год: Ваша 121 тысяча рублей приносит опять 10%, что в рублях 12100 руб., а Ваш вклад в конце третьего года составит 121 000 + 12100=133 100 руб.

И т.д.

В формализованном виде сложные проценты записываются так:

FV = PV (1 + r) ^ n

где FV – будущая стоимость вклада; PV – начальная стоимость вклада; r – ставка дохода (доходность); n – число периодов.

Ну проверьте формулу на нашем примере FV = 10000 (1 + 0,1)^3 = 133 100 руб. Как видите все сошлось 🙂

Когда Вы инвестируете на долгие сроки, тогда значение сложных процентов возрастает очень сильно.

Представьте себе такой пример, если молоко будет дорожать на 10% в год, сколько оно будет стоить через 20 лет? Если сегодня молоко стоит 30 рублей за литр, то допуская рост стоимости молока на 10% в год, через 20 лет молоко будет стоить FV = 30 (1+0,1)^20 = 201 рубль 82 копейки!

Этот пример кстати говоря очень хорошо показывает необходимость инвестирования, сохранения своих капиталов, так как они обесцениваются так же по формуле сложных процентов.

Эту формулу еще называют “формула Ротшильда”, “формула дьявола”, а на английском и в финансовых кругах это называется “компаундинг”.

Все на земле меняется по формуле сложных процентов: инфляция, рост потребления нефти или пшеницы, меняется население земли и т.д.

Когда Вы инвестируете процент работает за Вас, вот пример я раньше приводил по поводу пенсий :

Какую же сумму удастся накопить среднестатистическому россиянину, если он будет инвестировать по 3000 руб. в месяц в течение 30 лет? Предположим, что рост его инвестиций составит 5% в год, а доходность инвестиций будет равна 17% годовых.

Через 30 лет накопится 32 022 812 руб. Так сложный процент работает на Вас, выступая таким рычагом, увеличивающим ваш вклад.

Но он работает и против, когда Вы берете кредиты, например.

В принципе существуют программы, которые позволяют считать сложные проценты и связанные с ними формулы аннуитетов (аннуитетом считается ряд платежей, которые одинаковы (или меняются по закономерности) и отстоят друг от друга на одинаковый период времени, аннуитетом считается и пример с накоплением 3000 руб. в месяц выше и ежемесячная равная выплата по кредиту в течении времени).

Вы сами можете попробовать, я пользуюсь вот такой программой для iPad , она бесплатная, там у них есть варианты и для Android.

На рисунке показан пример расчета размера выплат по кредиту с использованием данной программы.

Там же можно будет попробовать и другие финансовые расчеты провести, например, подсчитать сложные проценты и аннуитеты.

Пробуйте, главное понять сам принцип.